含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用
班级：11数学与应用数学一班成绩：日期：2012年11月5日
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含参量积分的分析性质及其应用
1.含参量正常积分的分析性质及应用
1.1含参量正常积分的连续性
定理1若二元函数f（x，y）在矩形区域r。[a，b]。[c，d]上连续，则函数
。。x。=。f（x，y）dy在[a，b]上连续.
cd例1设f（x，y）。sgn（x。y）（这个函数在x=y时不连续），试证由含量积分f（y）。。10f（x，y）dx所确定的函数在（。。，。。）上连续.
解因为0。x。1，所以当y0，则sgn（x-y）=1，即f（x，y）=1.-1，xy
则f（y）。。（。1）dx。。dx。1。2y.
0yy11，y1时，f（x，y）=-1，则f（y）。。（。1）dx。。1，即f（x）=1-2y，0。y1又因lim。1。f（0），limf（y）。。1。f（1）.f（y）在y=0与y=1处均连续，因而f（y）
y。0y。1在（。。，。。）上连续.
例2求下列极限。（1）lim。。0。1。1x。adx;（2）lim。x2cos。xdx.
。。00222解（1）因为二元函数x2。。2在矩形域r=[-1，1]。[-1.1]上连续，则由
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连续性定理得。1。1x2。a2dx在[-1，1]上连续.则
1。。0。1lim。x2。a2dx。。limx2。a2dx。。xdx。
1.
。1。。0。111，]上连续，由连续22222。。822性定理得，函数。xcosaxdx在[。，]上连续.则lim。xcosaxdx。。x2dx。.
00。。00223（2）因为二元函数x2cosax在矩形域r。[0，2]。[。。。例3研究函数f（x）。。正的连续函数.
10yf（x）dx的连续性，其中f（x）在闭区间[0，1]上是
x2。y2解对任意y0。0，取。。0，使y0。。。0，于是被积函数
yf（x）在22x。yr。[0，1]。[y0。。，y0。。]上连续，根据含参量正常积分的连续性定理，则f（y）在区间[y0。。，y0。。]上连续，由y0的任意性知，f（y）在（0，。。）上连续.又因
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