数论研究的三个阶段

数论研究的三个阶段

[摘要]十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解析方法的引入，数论出现了两大分支，即代数数论和解析数论。高斯对二次互反律的研究催生了代数数论，之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而得到了进一步的发展与完善。欧拉的研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家的研究直接推动了解析数论的发展。

关键词：数论；代数数论；解析数论

thethreestagesofnumbertheoryresearch

abstract

thenumbertheoryhadnotformedacompletesystemuntilitwasdividedintotwobranchesinthe18thcentury，namelythealgebraicnumbertheoryandanalyticumbertheory.gauss'sresearchonthelawofquadraticreciprocityhadgivenrisetothealgebraicnumbertheory，whichobtainedthefurtherdevelopmentandperfectionbykummer，dirichletanddedekind’swork.euler'sresearchesledtoanalyticnumbertheory，andriemannandhadamard’sstudiesfurtherpromotetheanalyticnumbertheory.

keywords：thenumbertheory;thealgebraicnumbertheory;theanalyticnumber

theory

数论是对整数性质的研究，所以又叫算术或整数论。数论问题看起来简单明了容易理解，但却与现代数学许多理论有着深刻的关联，因此成为数学中最古老、研究热度恒久不衰的数学分支之一。但直到十八世纪，这些研究成果还只是一些孤立、零散的结论，没有形成一个统一完整的独立分支。数学家高斯在总结和整理已有研究的基础上，写成《算术研究》一书，标志着数论形成一门独立的学科。整数的最简单而又最基本的元素是素数，所以数论研究的主要内容是素数问题，而素数问题的核心是寻找素数通项公式。以此为主要线索，以研究方法为分类标准，可以将数论的发展可划分为初等数论、代数数论和解析数论三个阶段，或者也可看作三种主要的理论形态。本文对数论发展的这三个阶段做历史考察，在梳理数论思想发展历史的同时，反映数学发展中不同分支间相互渗透、相互融合的整体化、统一化趋势，从而提供一个理解现代数学的不同视角。

1初等数论

初等数论研究正整数，更具体点是研究正整数的结构，比如一个正整数和其它正整数的有什么关系，它可用性质较简单的其它数——比如素数如何来表达等等问题，当然这样说也不能概括初等数论的全部。它区别于其它数论分支的最大特点是在研究方法上应用整数四则运算而几乎不借助于其它方法，研究内容主要包括整除问题、同余问题和不定方程问题。[1]按时间先后和地域来看，主要有古希腊、中世纪亚洲和近代欧洲三个不同的研究热点或高潮时期。

1.1古希腊数论