[自主探究　能力建构] 自主探究,建构新知

1案例背景�高考是知识和能力的双重较量，更是意志和品质的双重竞争.如何提高高考复习的效率和质量，历来为广大教师和考生所关注.新课程积极倡导合作学习与探究性学习的学习方式，其核心目的就是让学生的主体地位在更高的层次和更广阔的空间获得凸现.数学课堂探究式教学，就是教师通过各种课堂教学组织形式，把学生在学习过程中的发现、探索、研究等认识活动，更多地成为学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程的一种教学方法.数学探究式教学可以调动学生的学习主动性与积极性，让学生初步体验数学发现和创造的历程，培养学生的创新意识.�

函数是高中数学的主线，是高考考查的主要内容之一、导数进入新教材后，函数研究的范围随之扩大了，三次函数正成为命题中的新亮点.三次函数的导数为二次函数，对于二次函数学生已有较为全面、系统、深刻的认识.然而，三次多项式函数虽然同样初等，但是诸多问题的研究与探讨学生均显力不从心.�

本文是笔者在执教省重点中学高三文科班“导数的应用”第二节复习课上，由一个学生“意外插话”引起的一次没有准备的探究活动.�

2案例过程�

（2007年高考湖南文第21题）已知函数�

f（x）=13x�3+12ax�2+bx在区间［－1，1），（1，3］内各有一个极值点.�

（Ⅰ）求a�2－4b的最大值；�

（Ⅱ）当a�2－4b=8时，设函数y=f（x）在点a（1，f（1））处的切线为l，若l在点a处穿过函数y=f（x）的图像（即动点在点a附近沿曲线�

y=f（x）运动，经过点a时，从l的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式.�

师。这是一道曾经难倒许多英雄的高考压轴题，当时大部分考生都末能完善解决，今天就让我们一起来挑战这道难题，看看能否给予解决。�

师。默读问题，你能从本题中获取到哪些信息。是否梳理了题目的条件与结论。�

学生陷入深思中.我环绕教室一周，发现学生a已快速地完成了问题（Ⅰ），我就叫她上来板演，这个题目的（Ⅰ）比较容易理解，学生a的解法我很满意.但对问题（Ⅱ）学生们显得无从下手.�

生。老师，问题（Ⅱ）我们都看不懂题意，“穿过”是怎么回事。说明了什么。�

为了引导学生，我作出了草图（图1），结合图像，此时学生才豁然开朗……�

师：由于切线l：y=（1+a+b）x－23－12a在点a（1，f（1））处穿过y=f（x）的图像，所以切线l与y=f（x）的图像只有一个公共a.g（x）=f（x）－［（1+a+b）x－23－12a］在x=1两边附近的函数值异号，且x=1不是g（x）的极值点.�

当我讲解好题目得出表达式f（x）=13x�3－x�2－x，正准备讲解下一个例题……�

突然，学生b连手都不举在下面激动的大喊一声。老师，这个a点是不是图像的对称点啊。�

学生b是一个“捣蛋鬼”，总爱给老师找点“麻烦”的学生，被他缠住可够受的啦.�

由于还要继续讲授下面的内容，完成教学任务，更由于这是我课前没预料的，怕出乱子，我真想敷衍一下.但新课程理念告诫我：“教师是学生亲密的伙伴，对学生在学习活动中的表现应给予充分的理解与尊重.”更何况我经常鼓励学生要勇于探索，大胆创新.�

师。（顿了顿）学生b真是一个爱思考的学生，他为何会做出这样一个猜想，让我们共同来听一听，好吗。�