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第二讲极限的定义与基本性质

第一篇：第二讲极限的定义与基本性质第二讲极限的定义与基本性质

一、数列极限及其性质

1.数列极限的定义：

xn收敛于a0，nn，s.t.xna，nn。

值得注意的是：1）n依赖于，但不唯一，而事先给定；

2）不等式xna中的可以用k来代替，其中k0不依赖于n，；

3）n可以通过xna得到，需要解不等式或作适当的放大。

例1证明：a0，an

n。

n0。

分析：直接求解不等式

时an。用放大法。记m[a]，则当nm0是不现实的。

n。12m（

从而1）nm（1n）m（nm，1）

am（m1），n。m1

注意到a[a]1m1，因此0

即可。

证明。0，不妨设1。记m[a]，取nannm（m1）从而只要解1，m1m1aanmln（m1）ln，则当

ln（m1）lna

nn时有

am0（m1），n。m1

因此由极限定义得annan

n。0。

□

2.用定义证明极限存在的方法

1）放大法。如前。

2）分步法与拟合法

例2设xna，证明x1xn

na。

分析：若把xn中每项看成a，则

x1xn

的值恰为a，因此

x1xn

a

（x

i

a）

n

i1

xia。

其余要借助假设xna来证明。给定0，n，当nn时xna，因此不能控制的项为x1a，x2a，，xna。但好在这种项只有n项，从而可以调整n来控制它们。

证明：0，由xna，n1，当nn1时xna/2，从而

x1xn

nnn1

a1

（x

i1

a）

n

i1n1i1

xia

/2

n

i1

xia/2

n

xia。

又收敛数列有界，不妨设xnm，n，则

n

i1

xia

n1n

ma。

12n1

（m|a|），则当nn2时令n2n



i1

xia



。

最后，令nmax{n1，n2}，则当nn时有

x1xn

a。因此由极

限定义知

x1xn

a。

□我们看到，这里我们先利用了极限的定义，然后再利用极限的性质（有界性）来完成证

明。

例3证明：若pk0（k1，2，）且lim

p1p2pn

n

0，limxna。

n

证明lim

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

n

a。

分析：把xn中每项看成a，则极限号后面的式子的值恰为a，因此

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pn

a

p1xnap2xn1apnx1a

p1p2pn

。

然后我们在试图用分步的方法来估计。记qk注意到qk

（k）

（n）



p1p2pn

，k1，2，，n，

0，因此若nk，则当k时n，从而

（n）k

0q因而qk再由qk

（n）



p1p2pn

n

qk

（k）

0，

0，k。0，由limxna，n1，当nn1时xna。

（n）

0，k，n2，当nkn2时0qk

p1xnp2xn1pnx1

p1p2pnq

（n）

2（n）

。于是

a

q

k1

（n）k

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