15章 求矩阵特征值和特征向量

第15章求矩阵特征值和特征向量

幂法

幂法规范化算法

1.输入矩阵a、初始向量u，误差eps2.k。1

3.计算v（k）。au（k-1）

4.mk。max（v），mk-1。max（v）5.uk。v（k）/mk

（1）

6.如果|mk-mk-1|m，m2=x[[k]];m=m1]，{k，1，length[x]}];m2]v=a.u;m0=fmax[u];m1=fmax[v];t=abs[m1-m0]//n;k=0;

while[t>eps&&k=nmax，print[\迭代超限\

说明。本程序用于求矩阵a按模最大的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过键盘输入矩阵a、迭代初值向量u（0）、精度控制eps和迭代允许最大次数nmax，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序。如果迭代超出nmax次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。

程序中变量说明a：存放矩阵a

u：初始向量u和迭代过程中的向量u

（k）

（0）

（k）

及所求特征向量

v：存放迭代过程中的向量v

m1：存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值nmax：存放迭代允许的最大次数eps：存放误差精度

fmax[x]：给出向量x中绝对值最大的分量k：记录迭代次数t1：临时变量

注。迭代最大次数可以修改为其他数字。

例题与实验

例1.

用幂法求矩阵

。133。a。。44。。88。

65。6135。。46。。90。。的按模最大的特征值及其相应特征向量，要求误差eps&&k=nmax，print[\迭代超限\

说明。本程序用于求矩阵a按模最小的特征值及其相应特征向量。程序执行后，先通过

键盘输入矩阵a、迭代初值向量u、精度控制eps和迭代允许最大次数nmax，程序即可给出每次迭代的次数和对应的迭代特征值、特征向量及误差序列，它们都按10位有效数输出。其中最后输出的结果即为所求的特征值和特征向量序。如果迭代超出nmax次还没有求出满足精度的根则输出迭代超限提示，此时可以根据输出序列判别收敛情况。

程序中变量说明：a：存放矩阵a

u初始向量u和迭代过程中的向量u

（k）

v：存放迭代过程中的向量va1：存放逆矩阵a-1

m1：存放所求特征值和迭代过程中的近似特征值nmax：存放迭代允许的最大次数

eps：存放误差精度

fmax[x]：给出向量x中绝对值最大的分量k：记录迭代次数t1：临时变量

注。迭代最大次数可以修改为其他数字。

（0）

（k）

（0）

及所求特征向量

例题与实验

例3.用反幂法求矩阵

。2。a。。1。1。。2133。。1。。1。。

的按模最小的特征值及其相应特征向量，要求误差<10-5。

解：执行幂法程序后在输入的4个窗口中按提示分别输入

{{2.，-2.，

3.}，{1，

1.，1}，{1.，3，-1}}，{1，0，1}，0.00001，100每次输入后用鼠标点击窗口的“ok”按扭，得如下输出结果。…………………………………………………….

k=12特征值=0.9995193167误差=0.002553354512特征向量={-0.9990991337，

1.，0.9988281951}k=13特征值=1.00052327误差=0.001003953492特征向量={-0.9998950625，0.9994143792，

1.}

k=14特征值=0.9998814738误差=0.0006417963548特征向量={-0.9997696935，

1.，0.9997070364}

k=15特征值=1.000131384误差=0.0002499099059特征向量={-0.9999720617，0.9998535356，

1.}

k=16特征值=0.9999705536误差=0.0001608301282特征向量={-0.9999418581，

1.，0.9999267582}k=17特征值=1.000032909误差=0.00006235517185特征向量={-0.9999928266，0.9999633802，

1.}k=18特征值=0.9999926591误差=0.00004024964909特征向量={-0.9999854018，

1.，0.9999816895}

k=19特征值=1.000008234误差=0.00001557505036特征向量={-0.9999981857，0.9999908448，

1.}

k=20特征值=0.9999981671误差=0.00001006707749特征向量={-0.9999963435，

1.，0.9999954224}

k=21特征值=1.000002059误差=3.89222610510-6

特征向量={-0.9999995441，0.9999977112，

1.}

此结果说明迭代21次后得到满足要求的解：k=21特征值=1.000002059误差=3.89222610510特征向量={-0.9999995441，0.9999977112，

1.}

注意到本题按模最小的特征值为1，因此求解效果较满意。如果将如上输入的迭代初值改为常用的{1，1，1}，则得到如下结果。

k=1特征值=3.误差=2.666666667特征向量={1.，

1.，

1.}

k=2特征值=3.误差=2.220446049。10-15特征向量={1.，

1.，

1.}

这个结果是按模最大的特征值，而不是按模最小的特征值，因此选用初值要小心。

-6

jacobi方法

jacobi旋转法算法

1.2.输入矩阵a，误差。fork。1，2，。（k。1）2.1选取apq。maxaiji。j（k。1），记录p，q2.2由tan2。。（k）2apq（k。1）（k。1）（k。1）app。a，。。。确定旋转角。，获得旋转矩阵4（k）（k）j（p，q，。）2.3apj。apj2.4aqj2.5aij（k）（k。1）cos。。aqj（k。1）sin。，ajp。apjcos。，（k）j。p，q（k）。。apj。aij（k。1）sin。。aqj（k。1）ajq。aqjj。p，q（k）（k）（k。1）（k。1）（k。1），i，j。p，q222.6app。app（k）cossin。。a。。a（k。1）sincos22。。2apq（k。1）（k。1）sin。cos。sin。cos。

2.7a。app（k。1）。。2apq2.8计算e（ak）。。（aiji。j（k）2）2.9如果e（ak）。。，输出对角矩阵d。diag（。1，。2，。，。n）和特征向量矩阵j，停止

注。如上算法中ak=（aij（k）），a0=（aij（0））=（aij）。

jacobi旋转法算法程序

clear[a，bb];

a=input[\矩阵a=\；n=input[\矩阵阶数n=\；

eps=input[\误差精度eps=\；

nmax=input[“迭代允许最大次数nmax=”]；k=0;

bb=identitymatrix[n];

ea=sum[a[[i，j]]^2，{i，1，n}，{j，1，n}]-sum[a[[i，i]]^2，{i，1，n}]//n;while[ea>eps&&km，m=abs[a[[i，j]]];p=i;q=j]，{i，1，n}，{j，i+1，n}];mu=a[[p，p]]-a[[q，q]];

if[mu==0，thi=pi/4，thi=arctan[2*a[[p，q]]/mu]/2];s=sin[thi]//n;c=sqrt[1-s^2];

a1=bb[[p]];

bb[[p]]=c*bb[[p]]+s*bb[[q]];

bb[[q]]=-s*a1+c*bb[[q]];

1.+2.i，

1.-2.i，-1.}，可见收敛效果相当满意。

1.+2.i，

1.-2.i，-1.}，可见收敛效果相当满意。