实数完备性基本定理的内在关系

实数完备性基本定理的内在关系

实数完备性基本定理的内在关系

摘要：实数集的一个基本特征是实数集的完备性，它是微积分学的坚实的理论

基础.可以从不同的角度来描述和刻画实数集的完备性，因此有多个实数集的完备性基本定理，在本文中就给出了六个实数集完备性基本定理.柯西收敛准则、确界原理、有限覆盖定理、区间套定理、单调有界定理、致密性定理以不同的方式从不同的侧面反映了实数集的一种特性——完备性.本文采用不同的角度来说明它们的等价性和侧重点，又用几个定理分别证明了一个命题，让我们获得了对实数集完备性的基本特征的进一步的认识和理解.

关键词：实数；完备性；基本定理；等价性

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实数完备性基本定理的内在关系

一、预备知识：

实数理论是数学分析的理论基础，而实数系完备性定理又是实数理论中的重要内容之一、本论文将在此基础上讨论有关实数完备性的基本定理的内在关系。

有理数集并非拓扑完备，例如（1，

1.4，

1.41，

1.414，

1.4142，

1.41421，...）是有理数的柯西序列却没有有理数极限，但它却有个实数极限.实数集是有理数集的空备化——这亦是其中一个构建实数集的方法.

在数学分析课中我们学习了有关实数系完备性的六个基本定理，即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖原理、致密性定理、柯西收敛准则.这六个定理从不同侧面以不同的方式反映了实数系的一种特性——完备性，这种特性是有理数系所不具有的.

那么到底什么是完备性，我们下面将作出解释：

关于实数集r的完备性（或连续性），直观地说，就是实数铺满整个数轴，即一条连续直线.也可以说实数可与数轴建立一一对应关系——实数的完备性等价于欧基里德几何的直线没有“空隙”.

实数完备性一般是指一下六个定理[1]：

定理1（确界原理）：设s为非空实数集，若s有上（下）界，则集合s在r中存在上（下）确界.

定理2（单调有界定理）：任何单调有界数列必定收敛.定理3（区间套定理）：设{[an，bn]}为一区间套：

.1[an，bn]。[an。1，bn。1]，n。1，

2...，

2.lim（bn。an）。0.n。。

则存在唯一一点。。[an，bn]，n。1，

2...

定理4（有限覆盖定理）。设h。{[。，。]}是闭区间[a，b]的一个无限开覆盖，即[a，b]中每一点都含于h中至少一个开区间（。，。）内.则在h[a，b]中必存在有限个开区间，它们构成[a，b]的一个有限开覆盖.

定理5（致密性定理）：任何有界数列必有收敛子列.

定理6（柯西准则）：数列{an}收敛的充要条件是：。。。0，。n。。，只要

n，m。n恒有|am。an|。。.

实数集。的完备性可以用确界原理直观的来解释.

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