广义逆矩阵及其应用

题目广义逆矩阵及其应用学院

专业通信与信息系统学生学号

目录

第一章前言………………………………………………………………………1第二章广义逆矩阵………………………………………………………………2§2.1广义逆矩阵的定义………………………………………………………2§2.2广义逆矩阵的性质………………………………………………………3第三章广义逆矩阵的计算………………………………………………………12§3.1一般广义逆求解…………………………………………………………12§3.2moore-penrose广义逆…………………………………………………结论………………………………………………………………………………

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第一章前言

线性方程组的逆矩阵求解方法只适用于系数矩阵为可逆方阵，但是对于一般线性方程组，其系数矩阵可能不是方阵或是不可逆的方阵，这种利用逆矩阵求解线性方程组的方法将不适用。为解决这种系数矩阵不是可逆矩阵或不是方阵的线性方程组，我们对逆矩阵进行推广，研究广义逆矩阵，利用广义逆矩阵求解线性方程组。

广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，本文针对广义逆矩阵的定义、性质、计算及其在线性方程组中的应用进行研究，利用广义逆矩阵求解线性方程组的通解及极小范数解。

逆矩阵的概念只对非奇异矩阵才有意义，但在实际问题中，遇到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要将逆矩阵的概念进行推广。为此，人们提出了下述关于逆矩阵的推广：

（1）该矩阵对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在；（2）它具有通常逆矩阵的一些性质；

（3）当矩阵非奇异时，它即为原来的逆矩阵。满足上面三点的矩阵称之为广义逆矩阵。

1903年，瑞典数学家弗雷德霍姆开始了对广义逆矩阵的研究，他讨论了关于积分算子的一种广义逆。1904年，德国数学家希尔伯特在广义格林函数的讨论中，含蓄地提出了微分算子的广义逆。美国芝加哥的穆尔（moore）教授在1920年提出了任意矩阵广义逆的定义，他以抽象的形式发表在美国数学会会刊上。我国数学家曾远荣和美籍匈牙利数学家冯·诺伊曼及其弟子默里分别在1933年和1936年对希尔伯特空间中线性算子的广义逆也作过讨论和研究。1951年瑞典人布耶尔哈梅尔重新给出了穆尔（moore）广义逆矩阵的定义，并注意到广义逆矩阵与线性方程组的关系。1955年，英国数学物理学家彭罗斯（penrose）以更明确的形式给出了与穆尔（moore）等价的广义逆矩阵定义，因此通称为moore-penrose广义逆矩阵，从此广义逆矩阵的研究进入了一个新阶段。现如今，moore-penrose广义逆矩阵在数据分析、多元分析、信号处理、系统理论、现代控制理论、网络理论等许多领域中有着重要的应用，使这一学科得到迅速发展，并成为矩阵论的一个重要分支。

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第二章广义逆矩阵

§2.1广义逆矩阵的定义

一、penrose广义逆矩阵的定义

为了推广逆矩阵的概念，我们引进了广义逆矩阵的定义，下面给出广义逆矩阵的moore-penrose定义。

定义2.1设矩阵a。cm。n，若矩阵x。cn。m满足如下四个penrose方程

axa。axax。x

（ax）h。ax（xa）h。xa

（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）（ⅳ）

中的一部分或全部方程，则称x为a的一个广义逆矩阵。

若x只满足（ⅰ）式，则x成为a的一个{1}-逆，可记为a。1。，所有满足{1}-逆

1。。的x构成的集合记为a。若x满足四个方程中的第i，j，。，k个方程，则称x为a的