包含与排除

包含与排除

内容概述

同学们对这个题目可能很陌生，为了搞清楚什么是“包含与排除”，大家先一起回答两个问题：

（1）如右图（1），两个面积都是4厘米2的正方形摆在桌面上，它们遮盖住桌面的面积是8厘米2吗。

（2）如右图（2），一个正方形每条边上有6个点，四条边上一共有24个点吗。

聪明的同学马上就会发现：

（1）两个正方形的面积和是8厘米2，现在它们有一部分重叠了。因此盖住桌面的面积应当从两个正方形的面积和中减去重叠的这部分面积，所以盖住桌面的面积应少于8厘米2。

（2）四个角上的点，每个点都在两条边上，因此被重复计算了，在求四条边上共有多少点时，应当减去重复计算的点，所以共有6×4-4＝20（个）点。

这两个问题，在计算时，都采用了“去掉”重复的数值（面积或个数）的方法。当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。我们用|a|表示有限集a的元素个数。求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，

用式子可表示成：|a∪b|=|a|+|b|-|a∩b|，

我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。图示如右：a表示小圆部分，b表示大圆部分，c表示大圆与小圆的公共部分，

记为。a∩b，即阴影面积。

包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合a、b的并集a∪b的元素的个数，可分以下两步进行：

第一步：分别计算集合a、b的元素个数，然后加起来，即先求|a|+|b|（意思是把a、b的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步。从上面的和中减去交集的元素个数，即减去c=|a∩b|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）。

例题精讲

【例1】