第十一章 多元线形回归分析

第十一章多元相关与回归分析第一节多元线性回归模型

多元线性回归即多个自变量对一个因变量的线性回归。

一、多元线性回归模型概念

以两个自变量的二元回归为例，如x1、x2和y的关系存在关系式：e（y）=α+β1x1+β2x2，则y与x1和x2之间存在多元线性相关关系，这一方程即多元线性回归模型。

多元线性回归是多维空间中的超平面，如二元回归是三维空间中的一个平面。对于任意的（x1，x2），y的期望值就是该平面上正对（x1，x2）的那个点的y轴值，其与实际观测点之间存在随机误差，实际观测点yi=α+β1x1+β2x2+εi。

二、模型的建立

总体未知情况下，以样本构造出一个平面来估计总体真实平面，即以平面。=a+b1x1+b2x2去拟合原始观测数据。

拟合的准则是最小二乘法原理，使各观测值距离拟合值的偏差平方和最小，即∑（yi-。）2最小。由此计算出的a，b1，b2是对α，β1，β2的最佳估计。例如对施肥量x1、降雨量x2和产量y的数据，spss输出结果（表1）：variablex1x2constantb3.813.33266.7se.b0.5830.61732.077beta0.590.49t6.5325.48.313即得到。=266.7+3.81x1+3.33x2

三、回归系数的意义

对于模型。=a+b1x1+b2x2，b1可以解释为。当x2不变的情况下，x1每变化一个单位，y将平均发生b1个单位的变化。

如果所有自变量都同时变化，那么Δy=b1Δx1+b2Δx2+。.biΔxi。例题：如果对产量、施肥量、降雨量做出了简单回归和多元回归模型：

a模型：产量=287+5.9施肥量；b模型：产量=400+6.0降雨量；c模型：产量=267+3.81施肥量+3.33降雨量；

请计算。（1）如果在每亩土地上多施10斤肥料，可以期望产量增加多少。（2）如果在每亩土地上多灌溉5厘米的水，可以期望产量增加多少。（3）如果同时在每亩土地上多施10斤肥料，并且多灌溉5厘米的水，可以期望产量增加多少。

（4）由原始数据发现较高的施肥量和较高的降雨量是有联系的，如果照这样的趋势下去，那么在每亩土地上多灌溉5厘米的水，可以期望产量增加多少。解：（1）Δy=3.81（10）=38.1斤。

（2）Δy=3.33（5）=16.65斤。

（3）Δy=3.81（10）+3.33（5）=38.1+16.65=54.75斤

（4）Δy=6.0（5）=30斤。采用b模型中的简单回归系数6.0，它表示当施肥量也变化时，产量怎样随着降雨量的变化而变化。

比较题2和题4，30斤的增产不只归功于降雨量，也包含施肥量的影响；而16.65斤的增产则是在施肥量不变的情况下，伴随着降雨量的增加而产生的。

四、自变量为定类变量时回归系数的解释

线形回归要求自变量和因变量都是定距变量，但当自变量为二项变量或定类变量时，可以将其转化为0-1变量/虚拟变量后再进行回归。

1、自变量为二项变量时：如研究存款额y（百元）和年龄x1、性别x2之间的关系，令男性=1，女性=0（对照组）。如果得到如下多元回归方程：。=33+12x1-9.1x2，则x2的回归系数-9.1表示，对于同年龄的人来说，男性的存款额比女性平均减少910元。

2、自变量为定类变量时：如研究收入y（百元）和文化程度x之间的关系，假设文化程度包括小学、中学、大学，可将文化程度转化为两个虚拟变量，