求空间的角的基向量法:向量空间的基

夹角问题是立体几何中的重点内容，也是高考的热点.因为向量法可以不去直接作出角，从而降低了对空间想像能力和逻辑思维能力的要求，课本上只介绍了坐标法难题有时计算点的坐标很费事，这里谈谈用基向量法求角.�

1求两异面直线所成的角�

求两异面直线所成的角θ，可通过求两异面直线的方向向量的夹角φ来确定，即�cos�θ=�cos�φ�

例1已知正四面体a―bcd的棱长为a，e，f分别是ab，cd的中点，求异面直线de，bf所成角的大小.�

分析：如图1，这题如果建立直角坐标系，点的坐标的计算量很大，不宜考虑坐标法.�

向量�ab�，�ac�，�ad�不共面.它们的模都为a，每两个向量间的夹角都是60°，因此，可用�ab�，�ac�，�ad�为基向量来解题较方便.�

解：�de�=�ae�－�ad�=12�ab�－�ad�，�

�bf�=12（�bc�+�bd�）=12�ac�+12�ad�－�ab�，�

所以�de�・�bf�=（12�ab�－�ad�）・（12�ac�+12�ad�－�ab�）=�

14�ab�・�ac�+54�ab�・�ad�－12�ab��2－�

12�ac�・�ad�－12�ad��2=�

18a�2+58a�2－12a�2－14a�2－12a�2=－12a�2.�

又�bf�=�de�=32a，因此，�

|�cos�〈�de�，�bf�〉|=|－12a�232a×32a|=23.�

所以所求异面直线所成角的余弦为23.�

图1

图2

2求直线和平面所成的角�

求直线和平面所成的角θ，可先求直线的方向向量和平面的法向量的夹角φ.而�sin�θ=�cos�φ.�