利用对称性求最小值的问题

[关键词]对称性最小值数学数学来源于生活，又服务于生活，利用对称性求最小值是数学服务于生活的重要体现，也是各地中考的一个热点。课本中有这样的习题：如图所示，要在高压输电线的旁边修一个小型变电站（c点），该变电站建在输电线（l）旁边的什么地方，才能使变电站到a村（a点）和b村（b点）架设的电线线路最短。

一、阅读理解

作法。作a点关于直线l的对称点a′，连结a’b交直线l于c，则点c就是所求作的点（即变电站的位置）。

这是为什么呢。

说明：我们知道，a、a’关于直线l对称，所以a’c=ac，所以ac+cb=a’c+cb=a’b

为了比较大小，我们不妨在l上任取一点c’，这时同样有ac’=a’c’，所以，ac’+c’b=a’c’+c’b，而a’c’+c’b>a’b，（两点之间线段最短）即a’c’+c’b>ac+cb由此可知：只有一点c，使ac+cb最小，所以，c点即为变电站的位置。

二、解决问题

上述问题的解决为我们提供了一条解题的线索和思路，触类旁通，由此我们总结并产生了一系列问题的解题思路，即如遇图形本身有对称性，而恰又是求两线段之和的最小值时可思考采用上述方法。

1.在四边形中的应用