【空间角探究性问题的向量法求解策略】 用向量法探究点的位置

立体几何中空间角的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力，是命题的热点.因此，对于常见的探究方法的总结是必不可少的.一、探究两条异面直线所成的角

【例1】

如图1，已知正方形abcd和矩形acef所在平面互相垂直，ab=2，af=1，试在线段ac上确定一点p，使得pf与bc所成的角是60°，并加以证明.

分析：设ap=x（0≤x≤2），利用pf与bc所成的角是60°来构建以x为元的方程，再解x就确定了点p的位置.

图1

解：∵正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，∴af⊥ac，af⊥平面abcd.

又ab=2，af=1，ac=2，设ap=x（0≤x≤2）

，以a为坐标原点，直线ab、ad、af分别为x、y、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则a（0，0，0），b（2，0，0），c（2，2，0），f（0，0，1），p（2x2，2x2，0），

∴bc=（0，2，0），pf=（-22x，-22x，1）

.要使pf与bc所成角是60°，只需使|bc。pf||bc|。|pf|=cos60°

，所以x2。x2+1=12，∴x=1，所以当点p是线段ac的中点时，pf与bc所成的角为60°.

二、探究直线与平面所成的角

图2