雨滴下落的收尾速度[定稿]

自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，因为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定速度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。在此，阻力起了关键作用。

由流体力学可知，物体在流体中通过时所受的流体粘滞力为f



12

cdsv，其中2

为流体密度，s

为物体与流体垂直方向的最大横截面积，

c

d叫做阻力系数，它与无量纲的流体雷诺数有关，

re

在0

lv



雷诺数，

l

为流体的粘滞系数，为与物体横截面相联系的特征长度，v为物体的速度。

re210

5

范围内有

c

d



24

r



241

e

0.4，对于球形物体，上边的sr

e

2

，

l2r当re1时，上式中的第二，三项可以忽略，

力与速度成正比，当

cd

12rv

，则

f

r

6rv，re接近零，阻

2

10

3

re210

5

时，阻力系数接近0.4，

fr0.2rv，即球所受阻

2

力与速度的平方成正比。下面分两种情况讨论雨滴在空气中的收尾速度。⒈设所受阻力与v成正比。

雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动方程为m

d

vt

mmg6rv⑴，或写成



*



d

vt

gkv⑵，其中

*

g

*

6r91空g称为等效引力加速度。k取初2m2r水水

vt

始条

v00

*

解方程⑵可的

g

k

*

1e

kt

写成级数形式

vtg

*211*23

tkgtgkt，当

26

k→0和g→g*时有

vtgt，在此收尾速度为

v

t

g

*$

k



2



水



9

3

空

gr

13

2

⑶

6

，在

1

⑶

1

中，取



水

1000kgm

6

13

，



入

空

1.293kgm

e

，

17.110kgms

，欲使

则

v

t

127.1910r

2

，再将

v

t

代

r

，有

re1.2910re1，则必须是半径r0.3610

4

m特小雨滴，如

取r=0.00002m计算，则收尾速度为0.05088米每秒，达到这个速度几乎是一瞬间的事，因由任意时刻的速度v=0.05088[1-exp（-192t）]米每秒，则当速度从零增到时所用时间为0.023s，这是很短的，因此可以说极

小雨滴都是以收尾速度下落的。然而，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下到地面的，必须长成大雨滴才能落下，以进一步说明斯托克斯方程只可用于微小现象。

⒉阻力与v的平方成正比。*运动方程为d

在此收尾速度vtg*mv2⑷，其中0.2r2v，式⑷的解为vtvttgh空gvt，tvtmgt*，将雨滴质量m和及g*代入可得t水6.671gr，与之相应的空

5re2rvt空1.32107r3

2，欲使103r210e，必须使雨滴半径r>0.002m.以

r=0.0025m为例，可算得vt11.2ms2，达到该速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高空落到地面约需3分钟。由上我们可以看出以下几点⑴落下来的半径r>2mm的雨滴是实际存在的，也就是说较大的雨滴下落过程中所受阻力与v的平方成正比。⑵半径为0.25cm的雨滴落到地面的动量约为0.00071千克·米·秒，再考虑到风力的影响，收尾速度还要小些，加之水表面又有弹性，延缓了和人的作用，也使得作用力大大减小。