阿基米德折弦定理的四种常规证法

justin●深圳

平面几何内容在整个初中数学知识中占有很重要第位，无论是中考还是平时阶段检测，往往会在几何题目的设置上体现选拔性。更有人说：“初中数学学得好不好，关键看几何好不好”。这些虽然仅仅是一些说法而已，但也不无它的道理。平面几何的确是考察学生的一个很重要的方面，几何学习的关键主要是掌握作辅助线的技巧。而这些技巧也并非一朝一夕就能掌握的，需要长时间的积累，总结，并应用才能较好掌握。在整个初中范围内，圆作为一个独立的章节更显现它的重要，并以综合难度大，辅助线的作法较多著称。下面就以“阿基米德折弦定理”的证明为例来浅谈本人对圆的学习心得。

问题：已知m为的中点，b为求证：abbddc

证法一：（补短法）如图：延长db至f，使bf=ba

∵m为

的中点

∴am=mc，

上任意一点，且mdbc于d.∴∠mac=∠mca---①

又∵，∴mc=ma

∴∠mbc=∠mac---②

又∵∠mbc+∠mbf=180---③

由m，b，a，c四点共圆

∴∠mca+∠mba=180---④

由①②③④可得：∠mba=∠mbf在△mbf与△mba中：

bfbambambf∴△mbf△mba（sas）∴mf=ma，又∵mc=ma∴mf=mcmbmb又∵md⊥cf∴df=dc∴fb+bd=dc又∵bf=ba

∴ab+bd=dc（证毕）

证法二：（截长法）

如图：在cd上截取db=dg

∵md⊥bg∴mb=mg∴∠mbg=∠mgb---①

又∵，∴∠mbg=∠mac

又∵∠mac=∠mca（已证），

∴∠mbg=∠mca---②由①②可得∠mgb=∠mca=∠bca+∠mcg而∠mgb=∠gmc+∠mcg∴∠gmc=∠bca又∵，∴∠bma=∠bca

mbmg∴∠bma=∠gmc，在△mba与△mgc中bmagmc∴△bma△gmc（sas）

mamc∴ab=gc，∴ab+bd=gc+bd=gc+dg=dc（证毕）

证法三：（翻折）

如图：连接mb，mc，ma，ac，将△bam沿bm翻折，使点a落至点e，连接me，be∵△mba与△mbe关于bm对称，所以△mbe≌mba∴ma=me，∠mba=∠mbe-①又∵ma=mc，∴me=mc，

又∵m，b，a，c四点共圆，

∴∠mba+∠mca=180---②

又∵ma=mc（已证）∴∠mac=∠mca

又∵，∴∠mbc=∠mac∴∠mbc=∠mca---③

由①②③得。∠mbc+∠mbe=180∴e，b，c三点共线。又∵me=mc，md⊥ce∴de=dc，∴eb+bd=dc，又∵△mbe≌mba∴ab=eb∴ab+bd=dc（证毕）

证法四：如图，连接mb，ma，mc，ac，延长ab，过点m作mh⊥ab于点h，∵m为的中点

∴am=mc，

又∵，∴∠ham=∠dcm

mhamdc又∵∠mha=∠mdc=90∴在△mha与△mdc中hamdcm

mcma∴△mha≌△mdc（aas）

∴cd=ah---①

md=mh在rt△mhb与rt△mdb中

mhmd∴△mdb≌△mhb（hl）∴bd=bh又∵ah=ab+bh，∴ah=ab+bd-②mbmb由①②可得dc=ab+bd（证毕）