状态反馈的倒立摆PID控制

计算机控制理论与设计

基于lmi的单级倒立摆的状态反馈pid控制

摘要

本文以单级倒立摆为研究对象，通过物理规律得到系统的传递函数和状态方程，并结合状态反馈的概念，将约束条件转化为线性矩阵不等式求解反馈矩阵并得到pid控制器，最后进行matlab仿真得到仿真曲线进行对比分析指出该方法的优缺点。

关键字单级倒立摆pidmatlablmi状态反馈

前言

倒立摆系统是一种典型的非线性的，不稳定的复杂系统。是控制理论教学与科研中研究诸如鲁棒问题、非线性系统的控制等问题的良好实验对象。同时，倒立摆系统作为机器人行走中平衡控制、火箭垂直姿态控制和卫星飞行中姿态控制的最简单模型在航空航天以及军工等领域有着广泛的用处。倒立摆可以根据摆杆数量的不同分为一级、二级和三级等，多级摆杆间采用自由连接。一级倒立摆的仿真与控制已广泛应用于教学科研，而二级倒立摆也已在大部分实验室中实现，至于三级倒立摆的控制问题则是国际上公认的难题。然而我国学者李洪兴教授在2002年实现了国际上首次四级倒立摆实物系统的控制，这是我国学者采用自己提出的理论完成世界性难题的重大科学成就。本文中以单级倒立摆为研究对象，根据物理定律进行建模得到数学模型，在此基础上进行pid控制，并通过matlab仿真对比加入pid控制器前后的响应曲线进行分析。

数学模型的建立

直线一级倒立摆是由小车、摆杆等部件构成。现假设有一个一级倒立摆系统，其中摆杆的长度为l，l2l，质量为m，小车质量为m，u为作用在小车上的外力，为摆杆与垂直向上方向的夹角，x为小车的水平位移。若不考虑小车与导轨，摆杆与小车之间的摩擦并且不计各种空气阻力，则倒立摆系统的受力分析如图1所示。

-1-

计算机控制理论与设计

figure1规定摆杆重心的坐标为xg，yg，则

xgxlsinylcosg采用隔离法，对小车有

d2xut1m2（1）

dt其中t1为摆杆所受沿水平方向的力。对于摆杆，在水平方向上有

d2xlsin（2）t1mdt2在竖直方向上有

d2lcos（3）mgt2m2dt其中t2为摆杆所受沿垂直方向的力。以摆杆质心为旋转中心建立动力学方程有

d2t2lsint1lcosj2（4）

dt其中j1ml2为摆杆绕其质心的转动惯量。12此时，发现（2）（3）（4）均为非线性方程，为了简化计算并且便于进行控制器设计，要对上述方程进行近似线性化处理。由于控制目标是使摆杆处于垂直稳定状态，

20、即尽可能的小，甚至接近于0，因此可以认为sin0、cos

1、0。这里需要注意-2-

计算机控制理论与设计

22d2sindcos，coscos2sinsin22dtdt因此方程（2）（3）（4）化为

（5）mlt1mxmgt20（6）t2ltl1j（7）

消去中间变量t

1、t2，由（1）（5）式得到

u（8）mlxmm由（6）（7）式得到

mlxmgl（9）（jml2）由（8）（9）得到单级倒立摆方程

m（mm）glmlu（10）22（mm）jmml（mm）jmmlm2gl2jml2xu（11）22（mm）jmml（mm）jmml设小车的质量m为2kg，摆长l为1m，摆杆质量m为0.1kg，重力加速度g取10ms2带入上述方程，可以得到角度与外力之间的传递函数gs，

gssus0.74（12）