弹性力学

一、起源及发展

1687年，newton在《自然哲学的数学原理》中提出第一个变分问题——定轴转动阻力最小的旋转曲面形状问题；1696年，bernoulli提出了著名的最速降线问题；到18世纪，经过euler，lagrange等人的努力，逐渐形成变分法。古典变分法的基本内容是确定泛函的极值和极值点，它为许多数学、物理、科技、工程问题提供了强有力地数学工具。现代理论证明，微分方程（组）中的变分法是把微分方程（组）化归为其对应泛函的临界点（即化为变分问题），以证明其解的存在性及解的个数。讨论对应泛函临界点的存在性及其个数的基本方法是morse理论与极小极大理论（minimaxtheory）。变分法有着深刻的物理背景，某种意义上，自然界一切物质运动均可以用某种形式的数理方程表示，一般数理方程又与一定的泛函相对应，所以一切物质运动规律都遵从“变分原理”。

由于弹性力学变分解法，实质上就是数学中的变分法应用于解弹性力学问题，虽然在讨论的近似解法中使用变分计算均甚简单（类似微分），但“变分”的概念却极为重要，它关系到我们队一系列力学变分原理中“虚”的概念的建立与理解。以下，就应力变分法进行讨论。

二、定义及应用

（1）、应力变分方程

设有任一弹性体，在外力的作用下处于平衡。命ij为实际存在的应变分量，它们满足平衡微分方程和应力边界条件，也满足相容方程，其相应的位移还满足位移边界条件。现在，假想体力和应变边界条件上给定的面力不变而应力分量发生了微小的改变ij，即所谓虚应力或应力的变分，使应力分量成为ijij

假定他们只满足平衡微分方程和应力边界条件。

既然两组应力分量都满足同样体力和面力作用下的平衡微分方程和应力边界条件，应力分量的变化必然满足无体力时的平衡微分方程。即

xxyzx0，xyz

（a）yyzxy0，yzxzzxyz0。zxy在位移给定的边界上，应力分量的变分必然伴随着面力分量的变分fx、fy、f。z

根据应力边界条件的要求，应力分量的变分在边界上必须满足

lxmxynzxmynlf，yzxyy

（b）

nzlm。fzxyzzxf，则应变余能的变分应为

vcvcdxdydz（vcxxvcyz）dxdydz。

vvcvx，cy，cz

xzyvcvvyz，czx，cxy

zxyzxy将上式代入，得

vc（xx再将几何方程代入，得

yzyz）dxdydz。

wv（）yzyzuvc[xx]dxdydz。

根据分部积分和奥—高公式，对上式右边进行处理：

uxdxdydzluxdsu（x）dxdydz，xx最后可得

vc[u（lxmxynzx）]ds[u（xxyzx）xyz]dxdydz。

再将（a）、（b）代入，即得

vc=（ufyfwz）f。d

s

xv这就是所谓应力变分方程，有的文献把它叫做卡斯蒂利亚诺变分方程。最小余能原理：

vc（ufxvfywfz）ds0。

上式也可以改写为：

[vc（ufxvfywfz）ds]0。

（2）、应力变分法